Спектральные методы идентификации основаны на использовании аппарата матричных операторов. Эти методы являются дальнейшим развитием частотных методов и основываются на разложении сигналов объекта по ортонормированным функциям, не обязательно гармоническим. Результатом идентификации является определение ядра интегрально уравнения объекта, которое в простейшем случае линейных одномерных систем совпадает с функцией веса. Поэтому эти методы также можно отнести к непараметрическим методам идентификации.

Спектральные методы могут применяться для идентификации нестационарных систем, параметры которых, и в частности ядро интегрального уравнения, изменяются во времени.

Параметрическая идентификация

Параметрическая идентификация моделей объектов позволяет сразу находить значения коэффициентов модели объекта по измеряемым значениям управляемого y и управляющего u сигналов объекта. При этом предполагается, что структура и порядок модели объекта уже известен. Измеряемые значения y и u представляются в виде временного ряда, поэтому в результате идентификации оцениваются параметры АРСС - модели объекта, или параметры его дискретной передаточной функции. Зная коэффициенты АРСС - модели и ее структуру можно перейти к непрерывным структурированным моделям и моделям в пространстве состояний.

В задачах параметрической идентификации используются модели объекта с шумом измерений, задаваемые передаточными функциями - и структурой. Считая порядки моделей заданными, задачей параметрической идентификации стохастической системы считается определение оценок коэффициентов полиномов модели A,B,C и D по результатам измерений входа u(t) и выхода y(t) . Свойства получаемых оценок (состоятельность, несмещенность и эффективность) зависят от характеристик внешних возмущений и метода идентификации, при этом существенную роль играет вид закона распределения внешних возмущений.

Важным преимуществом методов параметрической идентификации является возможность использования рекуррентных алгоритмов, позволяющих проводить текущую идентификацию в реальном времени при номинальных режимах работы объекта. Эти преимущества определили широкое использование методов параметрической идентификации в задачах управления и автоматизации. К таким методам относятся: метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия и метод стохастической аппроксимации.

«Моделирование систем»

1 Методы параметрической идентификации объектов управления.

2 Методы структурной идентификации объектов управления.

3 Методы математической обработки экспериментальной информации (регрессионный анализ).

4 Методы планирования эксперимента (полный факторный эксперимент).

5 Аналитический метод построения математических моделей на основе мгновенных балансов потоков веществ и энергии.

1 Методы параметрической идентификации объектов управления.

структурную и параметрическую идентификацию.

На этапе параметрической идентификации выполняется экспериментальная проверка модели.

Цель параметрической идентификации: уточнение (подстройка) внутренних параметров, когда с помощью структурной идентификации не удается достичь необходимой адекватности модели реальному объекту.

Используют критерии: модульный, квадратичный, показательный, минимаксный, взвешенный критерии. Задача сводится к оценке суммарной невязки, которая служит основным критерием, по нему проводится идентификация модели.

Если относительная квадратичная невязка не превышает 5% от суммы квадратов экспериментальных значений выходного параметра объекта, то модель считается адекватной.

Методы параметрической идентификации

Методы различают в зависимости от модели.

Модели бывают:

1. Статические и динамические.

2. Детерминированные и стохастические.

3. Линейные и нелинейные.

4. Непрерывные и дискретные.

Идентификация делится:

1. Активные и пассивные методы.

2. Непрерывные и дискретные.

Параметрическая идентификация для статической детерминированной модели y = F (x )

Модель объекта линейная, имеет n входов, m выходов и структуру, описываемую системой уравнений, которая в векторной форме имеет вид:

Y = B 0 + BX .

Допустим, модель имеет несколько входов и один выход, содержит число k = n + 1 неизвестных параметров.

Рассмотрим неадаптивный шаговый метод применительно к решению этой задачи. Суть метода: приравниваются выходы объекта и модели в каждом из n опытов, в результате получается система из N уравнений идентификации с n +1 неизвестными, которая имеет однозначное решение, если ранг матрицы равен n + 1..

Это условие может быть нарушено, если ряд факторов в некоторых опытах окажутся стабилизированными, например, по условию технологии. Тогда увеличивают число опытов, активно вмешиваются в работу объекта, либо снижают число идентификационных параметров.

В качестве критерия идентификации используется суммарная невязка модели и объекта.

Рассмотрим адаптивный шаговый метод. Суть метода: значение параметров модели связываются на двух следующих друг за другом шагах:

где J – алгоритм адаптации.

В качестве такого алгоритма часто используют метод наискорейшего спуска.

Достоинства метода: возможность использования текущей информации.

Недостаток: возникают проблемы сходимости процесса адаптации.

Параметрическая идентификация нелинейных моделей

Структуру нелинейной модели предполагают в виде суммы линейных и нелинейных частей. В связи с этим алгоритм аналогичен линейному, только необходимо учесть нелинейность модели.

Объект отражается в виде функции F (X , B ) с неизвестными параметрами B .

Неизвестная функция объекта F 0 (X ) представлена в виде известной функции с неизвестными параметрами Y = F (X , B ). Чтобы определить неизвестные параметры B , приравнивают состояние модели и объекта для каждого из наблюдений. Решение сводится к задаче минимизации суммарной невязки:

2 Методы структурной идентификации объектов управления.

Идентификация объектов - построение оптимальных математических моделей по реализации их входных и выходных параметров.

Задача идентификации: количественная оценка степени идентичности модели реальному объекту.

В зависимости от априорной (исходной) информации об объекте различают структурную и параметрическую идентификацию.

Предметом структурной идентификации является определение вида функции Y теор связывающей входные переменные Х . Структурная идентификация включает в себя: постановку задачи; выбор структуры модели и её математическое описание; исследование модели.

Задачи вскрытия структуры объекта:1) выделение объекта из среды; 2) ранжирование входов и выходов объекта по степени их влияния на конечный целевой показатель; 3) определение рационального числа входов и выходов объекта, учитываемых в модели; 4) определение характера связи между входом и выходом модели объекта.

1) Выделение объекта из среды определяется целями, для которых строится модель. Модель строится так, чтобы она имела минимум связей с внешней средой. В зависимости от информации об объекте осуществляют переход к более сложной форме объекта. Далее происходит расширение объекта за счет присоединения части среды и этот процесс повторяется до тех пор, пока не будут эффективно достигаться цели управления.

ЦВМ открыли большие возможности для использования информации, снимаемой с объекта, для улучшения качества управления или характеристик регулятора. Широкое распространение получили адаптивные, самонастраивающиеся системы, в которых реализуется автоматическая подстройка параметров системы на основе анализа и обработки информации об эффективности процесса регулирования.

Рис. 9.1. Общая схема адаптивной системы управления (r, u - входы, - параметры).

1-й блок – это реальный объект, точное описание которого неизвестно. 2-й блок – более или менее точное его описание, 3-й – закон управления.

Модель (2-й блок) – приближённая и объект изменяется во времени. Улучшение модели называется идентификацией (повышение её точности). Идентификация имеет 2 стороны:

структурная;

параметрическая.

Под структурной идентификацией понимается приближение структуры модели к реальной так, чтобы она наилучшим образом отражала объект. Так как объекты могут быть самыми различными (механическими, экологическими и др.) нельзя придумать формальных методов структурной идентификации.

4-й блок (рисунок 9.1) отражает параметрическую идентификацию. Параметрическая идентификация – это улучшение значений параметров модели с целью повышения точности модели. Точность всегда понимается как разность между прогнозируемым и тем, что получаем.

5-й блок (рисунок 9.1) осуществляет адаптацию параметров регулятора.

Адаптация означает подстройку параметров регулятора, его самообучение. Параметры регулятора зависят от параметров объекта и обычно выражаются через них. Изначально параметры объекта не всегда известны с достаточной степенью точности или “плывут” во времени, что и вынуждает прибегать к адаптации. Поэтому адаптации – изменению характеристик регулятора – обычно предшествует процедура уточнения характеристик объекта по результатам измерения входных и выходных величин, которая называется идентификацией. Вопросы идентификации и адаптации получили резкое развитие в последние 25-30 лет, благодаря быстрому росту ресурсов цифровых контроллеров с одновременным снижением их стоимости.

Главная отличительная особенность адаптивных систем от систем с постоянными параметрами состоит в том, что они могут автоматически приспосабливаться к изменяющимся внешним условиям, могут обучаться подстройкой регулятора. Используются два основных способа подстройки регулятора.

Если изменяющиеся динамические свойства объекта доступны контролю по измеряемым внешним факторам и известно, как должен настраиваться регулятор в зависимости от параметров объекта, то можно использовать прямой метод настройки или адаптацию по разомкнутому контуру

Рис. 9.2. (А - адаптер, Р – регулятор, О – объект).

Если характеристики объекта измерить и оценить непосредственно нельзя, то используют адаптацию по замкнутому контуру (с обратной связью). В этом случае в систему вводится второй контур управления, который управляет не поведением объекта, а структурой и параметрами регулятора.

Адаптивные регуляторы с обратной связью можно разделить на два класса: самостабилизирующиеся регуляторы и регуляторы с эталонной моделью.

В самонастраивающейся системе имеется идентификатор, который постоянно определяет параметры объекта, и корректор регулятора, который на основании заданного критерия оптимальности сопоставляет текущие значения параметров объекта с теми, на основании которых функционирует регулятор, принимает решение об изменении характеристик регулятора и реализует это решение.

В этой системе можно выделить этапы:

1. Идентификация объекта или системы в целом.

2. Расчет коррекции регулятора.

3. Коррекция (настройка) регулятора, изменение его структуры.

Уважаемые читатели. В настоящее время процессам идентификации динамических систем уделяется много внимания. На эту тему написано много диссертаций, дипломов и научных публикаций. В различной литературе написано много чего про идентификацию, приведены различные модели и методы. Но всё это для обывателя становится ясным не сразу. Я попытаюсь в этой статье объяснить как решать задачу параметрической идентификации, когда техническая система (объект) описывается системой дифференциальных уравнений, с помощью метода МНК.

Немного из теории

Для начала нужно понять, что такое динамическая система . Если говорить как можно проще, то это система, параметры которой изменяются во времени. Подробнее . Практически любую динамическую систему можно описать дифференциальным уравнением какого-либо порядка, например:

Данная система дифференциальных уравнений характеризуется своими параметрами. В нашем случае это a , b , c и d . Они могут быть как статическими так и динамическими.

Что означают эти коэффициенты?

Применительно к реальным физическим динамическим системам эти коэффициенты дифференциального уравнения имеют конкретную физическую привязку. Например в системе ориентации и стабилизации космического аппарата данные коэффициенты могут играть различную роль: коэффициент статической устойчивости КА, коэффициент эффективности бортового управления, коэффициент способности изменять траекторию и т.п. Подробнее .

Так вот задача параметрической идентификации это определение этих самых коэффициентов параметров a , b , c и d .

Задача наблюдения и измерения

Стоит отметить, что для решения задачи параметрической идентификации необходимо получить «измерения» одной (или всех) фазовой координаты (в нашем случае это x 1 и (или) x 2).

Для того чтобы система была идентифицируема, она должна быть наблюдаема. То есть ранг матрицы наблюдаемости должен быть равен порядку системы. Подробнее про наблюдаемость .

Наблюдение процессов, происходящих в объекте, происходит следующим образом:

• у - вектор наблюдаемых параметров;
• H - матрица связи параметров состояния и наблюдаемых параметров;

- помеховая составляющая (в ней спрятаны все погрешности наблюдения);

Подробнее про вектора и матрицы

Динамическую систему которую мы описывали выше, можно представить в векторно-матричной форме:
где:

- помеховая составляющая.

Измерение процессов, происходящих в объекте, описывается следующим образом:

Как мы видим погрешность измерения может быть как аддитивной (в первом случае), так и мультипликативной(во втором)

Задача идентификации

Рассмотрим решение задачи параметрической идентификации в случае когда не известен один коэффициент. Перейдем к конкретному примеру. Пусть дана следующая система:

Видно, что параметры равны b = 1 , c = 0.0225 и d = -0.3 . Параметр a нам неизвестен. Попробуем дать его оценку с помощью метода наименьших квадратов.

Задача состоит в следующем: по имеющимся выборочным данным наблюдений за выходным сигналами с интервалом дискретизации Δt требуется оценить значения параметра, обеспечивающего минимум величины функционала невязки между модельными и фактическими данными.

Где - невязка, определённая как разность между выходом исследуемого объекта и реакцией, вычисленной по математической модели объекта.

Невязка складывается из неточностей структуры модели, погрешностей измерений и неучтённых взаимодействий среды и объекта. Однако, независимо от природы возникающих ошибок, метод наименьших квадратов минимизирует сумму квадратичной невязки для дискретных значений. В принципе, МНК не требует никакой априорной информации о помехе. Но для того, чтобы полученные оценки обладали желательными свойствами, будем предполагать, что помеха является случайным процессом типа белого шума.

Оценка по методу наименьших квадратов, минимизирующая критерий J , находится из условия существования минимума функционала:

Важным свойством оценок по МНК является существование только одного локального минимума, совпадающего с глобальным. Поэтому оценка является единственной. Ее значение определяется из условия экстремума функционала J :

То есть необходимо от функционала взять производную по a и приравнять ее к нулю.

Обращаю внимание, что - это «измеренные» значения фазовых координат и (или) , а - это фазовые координаты и (или) вычисленные по математической модели объекта. Но ведь в модели объекта, представленной в виде системы дифференциальных уравнений, и не выражены в явном виде. Для того, чтобы избавиться от этого безумия необходимо решить данную систему дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями.

Решать можно как «вручную», так и используя какое-либо программное обеспечение. Ниже будет показано решение в MatLab. В итоге должна получится система алгебраических уравнений для каждого момента времени :

Затем подставляя вместо значения «измеренных» фазовых координат, находим оценку параметра для каждого момента времени .

Где взять эти «измеренные» значения фазовых координат?

Вообще эти значения берутся из эксперимента. Но так как мы никакой эксперимент не проводили, то возьмем эти значения из численного решения нашей системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта 4-5 порядка. Выберем параметр

Решение найдем встроенными функциями пакета MatLab. Подробнее . Решение данным методом показано ниже.

% обозначим тип переменных
syms x(t) y(t) a
% решим систему при заданных начальных условиях
S = dsolve(diff(x) == a*x + 1*y,"x(0)=20", diff(y) == 0.0225*x - 0.3*y,"y(0)=20");
% выберем решение первой фазовой координаты, так как именно в его уравнении
% содержится искомый параметр а
x(t) = S.x;
% найдем частную производную первого уравнения по параметру а (в
% соответствии с методом МНК)
f=diff(x(t),"a");
% теперь немного упростим получившееся выражение
S1=simplify(f);
% зададим переменной t массив значений T
t=T;
% найдем выражения, содержашие параметр а для каждого момента времени
SS=eval(S1);
% теперь в цикле, подставляя в каждое выражение значение «измеренной»
% первой фазовой координаты, определим параметр а для каждого момента
% времени T. Значения «измеренной» фазовой координаты берем из решения СДУ
% методом Рунге-Кутта 4-ого порядка
for i=2:81
SSS(i)=solve(SS(i)==X(i,1),a);
end
ist=zeros(length(T),1);
ist(1:length(T))=-0.7;
figure; plot(T,SSS,"b--",T,ist,"r-");
legend ("оценка параметра а","истинное значение");
grid on;

На графике синей пунктирной линией обозначена оценка параметра , а красной сплошной линией обозначено непосредственно «истинное» значение параметра модели . Мы видим, что примерно на 3,5 секунде процесс стабилизируется. Небольшое расхождение оценки параметра и «истинного» значения вызвано ошибками при решении системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта.

Цель : дать представление об активных и пассивных методах структурной и параметрической идентификации, типовых структурах объекта управления, их особенностях.

Основные определения

Модель - условный образ объекта исследования, получаемый для того, чтобы отобразить характеристики объекта, существенные для исследователя. Модели могут быть физическими (например, уменьшенная модель корабля для исследования его гидродинамических свойств в специальном бассейне) и математическими. По своему виду математические модели могут быть:
- символьные (в виде математических формул);
- графические;
- операционно-описательные (заданные, например, в виде алгоритмов);
- топологические или иконографические (задаются в виде графа или некоторой схемы).

Моделирование - метод исследования процессов или явлений на их моделях (математических или физических).

Математическое моделирование - метод исследования процессов или явлений путем построения их математических моделей и исследования этих моделей с помощью вычислительной техники.

Имитационное моделирование -метод математического моделирования, при котором используют прямую подстановку чисел, имитирующих внешние воздействия (часто случайные), параметры и переменные процессов, в математические модели объектов.

Идентификация модели - в соответствии с ГОСТ 20913-75 это определение параметров и структуры математической модели, обеспечивающей наилучшее совпадение выходных координат объекта и модели при одинаковых входных воздействиях. Иными словами идентификация - процедура построения модели объекта по результатам измерения и обработки входных и выходных сигналов объекта. Подход к построению модели на основе идентификации называют также экспериментальным подходом, в отличие от аналитического, когда модель выводится на основании основных законов физики, химии, электротехники, материального или энергетического баланса.

«Черный ящик» - система, у которой при неизвестной внутренней организации, структуре и поведении элементов имеется возможность наблюдать реакцию выходных величин на изменение входных воздействий. Если структура объекта известна, то используют термин «серый ящик».

Параметрическая идентификация - определение параметров модели при заданной ее структуре.

Априорная модель - модель, построенная до начала специальных экспериментальных исследований.

Апостериорная модель - модель, полученная или уточненная по результатам экспериментальных исследований.

Классификация методов идентификации

В зависимости от принятого критерия классификации можно по-разному выделить и сгруппировать подходы и методы идентификации. Рассмотрим разные виды классификации.
1. Классификация по объему исходной информации об исследуемом объекте :

• Методы непараметрической идентификации (идентификации в широком смысле), когда неизвестна структура объекта.
• Методы параметрической идентификации (идентификации в узком смысле), когда стоит задача оценки параметров модели известной структуры.

2. Классификация по виду эксперимента :

• Методы активного эксперимента. Имеется возможность целенаправленно формировать входные воздействия для исследуемого объекта. Для получения статических моделей существует целое научное направление, которое так и называется - «Планирование эксперимента».
• Методы пассивного эксперимента. При этом исследователь может наблюдать и обрабатывать входные и выходные сигналы объекта, но не может вмешаться в его функционирование. Отметим, что пассивный эксперимент возможен почти всегда, а вот активный эксперимент для многих исследуемых объектов и процессов провести нельзя.

3. Классификация в зависимости от вида критерия , по которому оценивается близость модели к реальному объекту. Обычно используется среднеквадратичное отклонение между выходом модели и объекта, но могут быть и другие подходы, и, соответственно, другие методы идентификации.

4. Классификация по оперативности получения модели :

• Методы ретроспективной идентификации. В этом случае вначале проводится эксперимент, собираются и затем обрабатываются статистические данные, в итоге получается модель объекта.
• Методы адаптивной идентификации, или идентификация в темпе со временем. Алгоритмы идентификации включаются в состав системы управления. Модель объекта пересчитывается с появлением новых данных.

5. Классификация по типу исследуемого объекта или его модели. Вообще, класс модели должен соответствовать изучаемому объекту, но часто модель получают более простую, чем реальный объект. В теории автоматического управления, например, вместо нелинейной модели используют линеаризованную модель, описывающую поведение системы не во всем диапазоне ее работы, а только в окрестности рабочей точки. В то же время могут быть объекты, где учет нелинейности очень важен, и, естественно, модель такой системы должна быть нелинейной. Итак, исследуемые объекты могут быть:

• линейные и нелинейные;
• стационарные и нестационарные;
• одномерные и многомерные;
• с сосредоточенными и с распределенными параметрами;
• непрерывные и дискретные;
• статические и динамические;
• детерминированные и стохастические и т.д.

Стохастические объекты предполагают наличие внутри себя некоторой неопределенности, так что для оценки поведения таких объектов требуется применение вероятностных методов. В то же время, при обработке результатов измерений, почти всегда приходится иметь дело со случайными ошибками и погрешностями, но сам исследуемый объект остается при этом детерминированным.

6. Классификация по виду математической модели . В теории управления используются различные виды математического описания одного и того же объекта: дифференциальные уравнения, передаточные функции, весовые (импульсные переходные) функции, переходные функции, частотные характеристики. Поэтому можно классифицировать методы идентификации по тому, на нахождение какого вида модели они нацелены.

7. Классификация по используемо му математическому аппарату . Для построения математических моделей могут использоваться корреляционные методы, регрессионный анализ, частотные методы, теория оценивания, графоаналитические методы и многие другие разделы современной теории управления.

Процедура идентификации системы

Конструирование моделей по данным наблюдений включает три основных компонента:

1. Данные наблюдений . Входные и выходные данные иногда регистрируются в процессе проведения целенаправленных идентификационных экспериментов, когда пользователь может определить перечень и моменты измерения сигналов, причем некоторые из входных сигналов могут быть управляемыми. Задача планирования экспериментов, таким образом, состоит в том, чтобы, учитывая возможные ограничения, выбрать максимально информативные данные о сигналах системы. В некоторых случаях пользователь может быть лишен возможности влиять на ход эксперимента и должен опираться на данные нормальной эксплуатации.

2. Множество моделей . Множество моделей-кандидатов устанавливается посредством фиксации той группы моделей, в пределах которой мы собираемся искать наиболее подходящую. Несомненно, это наиболее важная и в то же время наиболее трудная часть процедуры идентификации. Именно на этом этапе знание формальных свойств моделей необходимо соединить с априорным знанием, инженерным искусством и интуицией. Множество моделей иногда становится результатом тщательного моделирования, после чего на основе законов физики и других достоверных знаний формируется модель, включающая физические параметры с еще не определенными значениями. Другая возможность состоит в том, чтобы без всякого физического обоснования использовать стандартные линейные модели. Множество таких моделей, у которых параметры рассматриваются прежде всего как варьируемые средства подстройки моделей к имеющимся данным и не отражают физики процесса, называется «черным ящиком». Множество моделей с настраиваемыми параметрами, допускающими физическую интерпретацию, называют «серыми ящиками».

3. Определение на основе данных наблюдений «наилучшей» модели множества . Эта часть есть собственно метод идентификации. Оценка качества модели связана, как правило, с изучением поведения моделей в процессе их использования для воспроизведения данных измерений.

Подтверждение модели. В результате осуществления всех трех этапов процедуры идентификации мы получаем конкретную модель: одну из множества, причем такую, которая в соответствии с выбранным критерием наилучшим образом воспроизводит данные наблюдений.

Остается проверить, «достаточно ли хороша» модель, т.е. выполняет ли модель свое предназначение. Такие проверки известны под названием процедур подтверждения модели. К ним относятся различные процедуры оценивания соответствия моделей данным наблюдений, априорной информации и поставленной прикладной цели.

Неудовлетворительное поведение модели по каждому из этих компонентов заставляет нас отказываться от модели, тогда как хорошее ее функционирование создает определенную степень доверия к модели. Модель никогда нельзя считать окончательным и истинным описанием системы. Ее скорее можно рассматривать как способ достаточно хорошего описания тех аспектов поведения системы, которые представляют для нас наибольший интерес.

Процедура идентификации системы порождает следующую естественную логику действия: 1) собрать данные; 2) выбрать множество моделей; 3) выбрать наилучшую в этом множестве модель. Однако вполне вероятно, что первая из так найденных моделей не выдержит проверки на этапе подтверждения. Тогда нужно вернуться и пересмотреть различные шаги процедуры.

Существует несколько причин несовершенства моделей:

Численный метод не позволяет найти наилучшую по выбранному критерию модель;

Критерий выбран неудачно;

Множество моделей оказалось неполноценным в том смысле, что в этом множестве вообще нет «достаточно хорошего» описания системы;

Множество данных наблюдений не было достаточно информативным для того, чтобы обеспечить выбор хороших моделей.

По существу, главным в приложениях идентификации является итеративное решение всех этих вопросов, особенно третьего, на основе априорной информации и результатов предыдущих попыток.

Модели объекта управления

Тестовый сигнал необходимо выбирать с такой спектральной характеристикой, чтобы действующее значение сигнала в любом интервале частот многократно превышало соответствующую величину помехи . Граничная частота спектра тестового сигнала должна быть выше наибольшего по абсолютной величине полюса передаточной функции объекта. Для получения хорошего отношения сигнал/шум амплитудная характеристика спектра тестового сигнала не должна иметь сильных провалов в интересующей области частот, чтобы обеспечить достаточно большое отношение сигнала к шуму.

На рис. 4 приведены наиболее распространенные тестовые воздействия и их спектральные характеристики.

Рис. 4. Типовые тестовые воздействия: а - ступенчатое; б - прямоугольный импульс; в - двойной прямоугольный импульс; г - синусоидальное

Верхнюю граничную частоту спектра тестового сигнала выбирают выше частоты ω 180 , на которой фазовый сдвиг выходного синусоидального сигнала объекта относительно входного составляет -180˚.

Нижняя граница диапазона, в котором необходимо достаточно точно идентифицировать передаточную функцию объекта, должна быть примерно на порядок ниже частоты ω 180 .

Ширина спектра и мощность тестового сигнала существенно влияют на точность идентификации. В общем случае более мощные и широкополосные сигналы позволяют определить большее число параметров передаточной функции.

Очевидно, что ни один из приведенных сигналов в полной мере не соответствует перечисленным требованиям. Для повышения точности идентификации можно рекомендовать, например, выполнить эксперименты со ступенчатым воздействием, а затем с двойным импульсным.